12平均律と53平均律からの純正律への近さの比較

　12平均律（単に「平均律」という場合はこれを指す）と53平均律からの純正律への近さを
周波数の近さによって知覚的に評価してみよう。
周波数が異なる等振幅の２つの正弦波を加えると、三角関数の公式から、
周波数が２つの平均周波数の正弦波と、振幅が元の振幅の２倍で周波数が２つの周波数の差の
半分の余弦波の積になることが分かる。従って、２つの周波数が近い場合には、
それらの平均周波数の正弦波の振れ幅が、周波数差の頻度で最大になる波になることになる。
したがって、２つの周波数がきわめて近い場合には、平均周波数が元の２つの周波数と
ほぼ同じ波で、振幅が周波数差の頻度でゆっくりと０と最大とを繰り返すように聞こえる。
これが「うなり（ビート）」である。
　いくつかの音律による長調の音階（「ド」を264Hzとした）をファイルに入れてある。
音階に使った音は成分が基本波１本だけのもの、つまり正弦波による音である
個別に聞くと違いがそれほど分からないが、足し合わせて聞くと、周波数に差がある音では
周波数差に応じた速さのうなりが聞こえる。
ピタゴラス音律と
（どちらが高いかは、固定のうなりからでは分からないが、弦楽器の調律の際は、一方を
上下させるのでうなり頻度の増減によって分かる。）

　純正律と他の音律との差を聞けるように音ファイルにしておいた。
うなりを数えられるように、１音あたり４秒あるいは５秒とした音階も入れてある。
図は左からドレミファソラシドと並んでいる。下の「ド」を基準としているので、
それにはどれもうなりがない。上の「ド」の周波数は，ピタゴラス音律と中全音階で
下の「ド」の周波数の２倍になっていない．
12平均律と53平均律を比べると、12平均律では純正律との差が「ミ」、「ラ」、「シ」で
大きいが、53平均律ではそれが小さくなっているのがわかる。


フォルダー【「ミ」と「ラ」】

 　12平均律で純正律からの差が大きい「ミ」と「ラ」について、別フォルダー【「ミ」と「ラ」】に、
それぞれの音律での「ミ」と「ラ」について、うなりの様子がよくわかるように時間軸を拡大した図も
入れておいた。
　


【注】
12平均律：
(3/2)^12が2^7に近い（５度を12回上がると７オクターヴ上になる）ことを利用して、
オクターヴ（周波数で２倍）を対数的に12等分（等比的に12に分割）して得られる音律.

53平均律：
(3/2)^53が2^31に近いことを利用して、オクターヴを対数的に53等分し、そのうち
純正律の周波数比に近い21箇所を使う音律。
これによって、「ド」を基準にした場合に12平均律で純正律からのズレが大きかった長調での
「ミ」、「ラ」、「シ」が純正律に近くなり、短調の「レ」に近い高さもあるので、
すべての和音の協和性が改善できる。53平均律で純正律から最も遠く離れるのは「ド」から
３全音の「ファ#」であるが、この高さは「ド」を調内音とする調で和音構成音として使う
ことがほぼないので、多少ずれても差し支えないと考える。